Boneka-boneka Devina

Teman-teman, Devina punya 11 boneka binatang yang lucu-lucu. Masing-masing punya nama. Teman-teman jawab pertanyaan-pertanyaan Devina ya.

Halo teman-teman! Namaku Grace. Tetapi aku biasa dipanggil Devina, karena aku punya teman bernama Devina. Lucu ya.

Teman-teman, Devina punya 11 boneka binatang yang lucu-lucu. Masing-masing punya nama. Devina sebutin satu per satu ya nama mereka:

• Ada Andrew Kelinci (AK), ini boneka yang paling Devina sayang. Soalnya paling lucu. Bikin gemes.
• Ada Calvin Rubah (CR), ini juga boneka yang paling Devina sayang. Soalnya paling lucu juga. Bikin gemes juga.
• Ada Anna Angsa (AA), Devina juga paling sayang sama boneka ini, soalnya paling lucu.. Ngegemesin...
• Ada Philip Mbek (PM). Ah, yang ini juga Devina paling sayang, lucu banget soalnya. Ih gemesss..
• Ada Michelle Ular (MU). Yang ini Devina juga paling sayang. Eh, teman-teman, Devina piara ular lho. Panjangnya 3 meter, lucu banget.
• Ada Diana Bibi (DB). Ah, ini juga Devina paling sayang.
• Ada Saphira Sapi (SS). Ini juga.
• Ada Lucio Petok (LP). Ini juga.
• Ada Yason Kupukupu (YK). Ini juga.
• Ada Joyce Ngeong (JN). Ini juga.
• Ada Gilbert Guguk (GG). Ini juga.

Aduh, pokoknya semuanya Devina paling sayang! Lucu-lucu dan ngegemesin!

Foto	Nama	Foto	Nama
	Andrew Kelinci		Calvin Rubah
	Anna Angsa		Philip Mbek
	Michelle Ular		Diana Bibi
	Saphira Sapi		Lucio Petok
	Yason Kupukupu		Joyce Ngeong
	Gilbert Guguk

Sekarang mari kita bermain. Teman-teman jawab pertanyaan-pertanyaan Devina ya. Setiap pertanyaan tidak berhubungan dengan pertanyaan sebelumnya. Devina akan menyusun boneka-boneka ini dalam sebuah baris.

1. Nah teman-teman, ada berapa cara susunan 9 dari semua boneka itu berbaris?

   jawaban

   Teman-teman, boneka Devina ada 11. Devina menyusun cuma 9. Berarti di urutan pertama Devina bisa menaruh salah satu dari ke-11 boneka Devina ini. Kemudian, di urutan kedua Devina bisa menaruh salah satu dari ke-10 boneka sisanya. Berikutnya, di urutan ketiga Devina hanya bisa menaruh salah satu dari ke-9 boneka lainnya, karena 2 sudah dipakai di urutan pertama dan kedua. Demikian seterusnya, teman-teman.

   Urutan	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   Kemungkinan	11	10	9	8	7	6	5	4	3

   Jadi, teman-teman, banyaknya susunan yang mungkin adalah 11×10×9×8×7×6×5×4×3 = 19958400.

   Atau, karena sekarang Devina sedang menyusun 9 dari 11 boneka Devina, berarti Devina sedang bermain permutasi 9 dari 11. Kalau begitu, teman-teman bisa menghitungnya dengan rumus permutasi: . Hasilnya sama, yaitu 19958400. Begitu teman-teman.

2. Ada berapa macam susunan ya dalam barisan itu, kalau semua berbaris, dengan Anna, Calvin, Diana, Gilbert, dan Joyce harus berdampingan?

   jawaban

   Nah,teman-teman, dari 11 boneka Devina, 5 harus berdampingan, maka supaya mereka tidak lari-lari kesana kemari, maka Devina ikat kelimanya menjadi satu. Kalau begitu, sekarang Devina punya 6 boneka bebas dan 1 kumpulan boneka terikat. Jadi ada 7 benda. Maka caranya menyusun ketujuhnya pasti ada 7!. Salah satu kemungkinannya adalah seperti ini.

   • 
   • 
   • 
   • 
   • 
   • 
   • (diikat)

   Tapi teman-teman, 5 boneka yang terikat itu kan juga bisa tukar-tukar posisi, jadi mereka sendiri bisa tukar-tukaran sebanyak 5! macam posisi. Jadi kalau begitu, semuanya harus dihitung 7!×5! = 604800.

   • 
   • 
   • 
   • 
   • 
   • 
   • dibolak-balik sebanyak 5!.

3. Andrew, Lucio, Michelle, Philip dan Saphira saling bermusuhan jadi mereka tidak suka bersebelahan. Ada berapa cara ya susunan barisan itu?

   jawaban

   Begini teman-teman. Karena Andrew, Lucio, Michelle, Philip dan Saphira tidak mau duduk bersebelahan, maka mereka menunggu teman-teman boneka yang lain. Lucu ya. Jadi mereka biarkan teman-teman mereka yang jumlahnya 6 itu duduk dulu, baru mereka nyempil di antaranya. Dengan cara seperti itu, mereka pasti dijamin tidak akan duduk bersebelahan.

   Jadi, sekarang Yason, Anna, Calvin, Diana, Gilbert, dan Joyce masuk duluan. Banyaknya kemungkinan mereka bisa duduk berbaris adalah 6!. Misalnya urutan mereka seperti ini:

   YK	AA	CR	DB	GG	JN

   Kemudian, Andrew, Lucio, Michelle, Philip dan Saphira nyempil di antara mereka. Maka mereka bisa nyempil di 7 tempat ini agar tidak saling bersebelahan:

   	YK		AA		CR		DB		GG		JN

   Salah satu kemungkinannya:

   SS	YK	LP	AA		CR	MU	DB		GG	PM	JN	AK

   Jadi, Andrew, Lucio, Michelle, Philip dan Saphira, mereka kelimanya bisa masuk ke 7 tempat. Berarti sekarang mereka sedang bermain permainan permutasi 5 dari 7, teman-teman. Berarti posisi mereka bisa ada .

   Kalau begitu, teman-teman, cara susunan mereka duduk adalah . Banyaknya 1814400.

4. Sekarang ada berapa cara mereka berbaris acak, jika Andrew harus di paling kiri, dan Yason harus di paling kanan, sementara Calvin dan Saphira harus berdampingan?

   jawaban

   Kalau Andrew harus di kiri, Yason di kanan, berarti susunan mereka seperti ini:

   Berarti posisi paling kiri cuma ada 1 kemungkinan, yaitu Andrew, posisi paling kanan cuma bisa 1 kemungkinan, yaitu Yason. Kemudian, Calvin dengan Saphira harus berdampingan, maka sekarang Devina mau ikat mereka ah, jadi Calvin sama Saphira diikat jadi satu. Berarti sekarang tinggal 8 yang Devina mesti taruh di sana: Lucio, Anna, Michelle, Diana, Gilbert, Philip, Joyce, dan Calvin-Saphira yang sudah diikat jadi satu. Berarti semua kemungkinannya bisa 8!.

   	1	2	3	4	5	6	7	8

   Tapi Calvin sama Saphira nakal-nakal, jadi mereka tukar-tukaran posisi terus selama diikat. Mereka bisa tukar menukar posisi sebanyak 2!. Jadi totalnya adalah 8!×2! = 80640 kemungkinan.

   	1	2	3	4	5	6	7	8

Eh, teman Devina datang lho. Namanya Grace. Sebenarnya nama aslinya Devina, tetapi karena temenan sama aku jadi dipanggilnya Grace. Lucu ya. Grace juga punya boneka. Boneka Grace ada 15. 5 sama dengan Gilbert, 3 sama dengan Michelle, dan 7 sama dengan Yason. Kalau boneka kami semuanya digabung:

1. Ada berapa cara susunan dalam satu baris?

   jawaban

   Kalau semuanya digabung, berarti ada 6 Gilbert, 4 Michelle, 8 Yason, dan 8 boneka lainnya. Jadi totalnya ada 26 boneka. Nah, kalau ada yang sama dan tidak bisa dibedakan, berarti kita sedang bermain permutasi dengan unsur yang sama. Kalau begitu, kita harus menghitung . Besarnya adalah 578834975759040000.

Yahh.. Grace harus pulang, jadi sekarang bonekanya kembali seperti semula. Sekarang tiba waktunya minum teh sehingga semuanya duduk berkeliling. Lucu ya. Hiiih gemezzz!

1. Ada berapa cara susunan mereka semua duduk?

   jawaban

   Nah, teman-teman, sekarang jumlah boneka Devina sudah kembali jadi 11. Lalu, kalau mereka duduk berkeliling, maka ini namanya permainan permutasi siklis. Dalam permainan permutasi siklis, daripada semuanya bertukar-tukar posisi, lebih baik ada 1 yang jadi penjuru. Nah, yang jadi penjuru tidak perlu bergerak. Jadi yang kita hitung sisanya, yaitu cukup 10! saja, yaitu 3628800.

   

2. Kalau sekarang Michelle Ular dan Joyce Ngeong ingin pipis sehingga keluar sebentar, ada berapa cara susunan mereka duduk?

   jawaban

   Kalau dua boneka keluar, berarti sisanya yang masih duduk adalah 9. Berarti, sekarang yang kita hitung adalah 8!, yaitu 40320. Begitu, teman-teman.

Ih Mama rese deh, masa Devina disuruh buang boneka Devina yang lucu-lucu ini. Katanya mainnya harus udahan, mesti belajar. Devina mau buang 5 aja ah.

1. Teman-teman, ada berapa cara memilih boneka yang akan dibuang?

   jawaban

   Devina mesti memilih 5 dari 11 boneka Devina semuanya. Kalau begitu, ayo kita bermain permainan kombinasi 5 dari 11. Banyaknya kemungkinan adalah , yaitu 462.

2. Tapi gimana ya kalau yang mau dibuang adalah 3 dari binatang berkaki empat, dan 2 dari binatang yang kakinya bukan empat? (Catatan: kupu-kupu, angsa, ayam, ular kakinya bukan empat. Sisanya berkaki empat)

   jawaban

   Kalau begitu, berarti Devina harus pilih 3 dari semua binatang berkaki empat yang jumlahnya adalah 7. Berarti kita sedang bermain kombinasi 3 dari 7. Lalu, Devina harus memilih 2 dari semua binatang yang kakinya bukan empat, yang banyaknya 4 macam. Berarti, sekarang kita bermain kombinasi 2 dari 4. Kalau dua-duanya kita mainkan sekaligus, berarti kita harus menghitungnya . Banyaknya adalah 210.

Teman-teman, Devina harus belajar, karena kalau tidak, besok Devina dimarahi Bu Guru. Ayo bantu Devina membuat PR yuk.

Ayo teman-teman, hitung ya:

1. 

   jawaban

   9! = 9×8×...×2×1 = 362880.

2. 

   jawaban

   Teman-teman jangan menghitung 25! sendiri, 23! sendiri, lalu dibagi. Nanti teman-teman bisa gila. Caranya, teman-teman jabarkan saja 25! dan 23!, nanti ada yang bisa dicoret.

   
   
   
   

3. 

   jawaban

   Jawaban yang benar adalah 7980.

   
   
   
   
   

4. 

   jawaban

   Jawaban yang benar adalah 6188.

   
   
   
   
   

Terus, coba teman-teman jabarkan

1. 

   jawaban

   Teman-teman bisa langsung jabarkan menggunakan aturan seperti ini:

   (x+a)(x+b)(x+c) = x³+(kombinasi 1)x²+(kombinasi 2)x¹+(kombinasi 3)x⁰

   Jadi:

   
   
   

2. 

   jawaban

   Kalau ini, bisa menggunakan aturan binomial:

   
   
   

3. Terus teman-teman, tentukan suku dari binomial . Dihitung ya, jangan cuma ditulis faktorialnya.

   jawaban

   Dari rumusnya, , teman-teman bisa memperkirakan kapan akan muncul A⁵, bukan? Itu terjadi pada saat k=4. Kalau begitu, sukunya adalah:

   

Terimakasih. Devina sayang teman-teman. Muach…