Search form

Sifat Refleksif

Sifat refleksif suatu relasi biner

Apakah kamu mengenal diri sendiri? Apakah kamu mengetahui namamu sendiri? Dalam kelasmu, mungkin ada orang yang kamu tidak pernah tahu namanya. Mungkin juga ada yang tidak tahu namamu (sadarilah, bahwa kamu bukan orang terkenal). Jadi setiap orang di kelasmu, mungkin mengenal teman yang lain, mungkin juga tidak. Tetapi satu yang pasti: Setiap anggota kelasmu pasti mengenal diri sendiri!

Nah, ada sistem relasi yang setiap anggotanya pasti berelasi dengan diri sendiri. Contohnya:

  • Setiap orang di kelasmu pasti bisa mencium bau badan sendiri (dengan asumsi tidak seorangpun temanmu hidungnya rusak).
  • Setiap benda pasti berbentuk sama dengan dirinya sendiri.
  • Setiap bilangan asli pasti memiliki faktor dirinya sendiri. Misalnya, 5 punya faktor 5, 3 punya faktor 3, dan seterusnya.

Relasi-relasi semacam itu disebut memiliki sifat refleksif.

Refleksif
Suatu relasi disebut refleksif jika setiap unsur dalam himpunan itu berhubungan dengan dirinya sendiri.

Dalam bahasa matematika, ini ditulis:

Refleksif
Relasi R dalam A disebut refleksif jika:

Bagaimana membuktikan relasi refleksif?

Kalau kamu mencurigai bahwa suatu relasi adalah bersifat refleksif, bagaimana kamu akan membuktikannya? Ada banyak cara, dan kadang-kadang perlu trik. Tapi yang umum adalah sebagai berikut.

Kalau domainnya sedikit: Daftarkan saja!

Kalau domainnya sedikit, kamu cukup mendaftar saja relasi yang mungkin terjadi. Lalu kamu lihat, apakah relasi tersebut mengandung semua pasangan diri dalam domain. Selain dengan didaftar, kamu juga bisa menggambar diagramnya agar terlihat lebih artistik. Contohnya adalah sebagai berikut.

  1. jawaban

    Sebuah relasi biner dalam domain { kadal, kucing, kodok, kacang } adalah { (kadal, kucing), (kodok, kodok), (kodok, kacang), (kacang, kucing), (kacang, kacang), (kucing, kodok), (kucing, kucing), (kadal, kadal), (kadal, kodok) }. Apakah relasi tersebut refleksif?

  2. jawaban

    Sebuah relasi biner dalam domain { anjing, apel, arwana } adalah { (anjing, apel), (anjing, anjing), (apel, arwana), (arwana, arwana) }. Apakah relasi tersebut refleksif?

  3. jawaban

    Mila memiliki empat ekor anjing bernama Heri, Hasan, dan Hendra. Mila senang sekali melihat mereka berusaha menggigit ekor sendiri tapi tidak pernah berhasil. Maka Mila mulai memikirkan relasi x tidak dapat menggigit ekor y, dengan x dan y adalah anjingnya. Apakah relasi tersebut refleksif?

Kalau domainnya banyak: Bantu pakai kalimat

Kalau domainnya banyak, tetapi kamu tahu kalimat yang mendeskripsikan relasi tersebut, kamu bisa mengganti x dan y dengan nilai yang sama.

  1. jawaban

    Sebuah relasi biner dalam domain bilangan real didefinisikan dengan rumus . Apakah relasi tersebut refleksif?

Diagramnya khas lho!

Diagram relasi yang bersifat refleksif memiliki ciri-ciri tertentu ketika kita menggambarkan sebagai diagram kartesius maupun graf berarah. Cobalah kamu perhatikan diagram relasi-relasi di atas, lalu simpulkan ciri-ciri yang dimiliki oleh relasi refleksif.

Kesalahan yang sering terjadi

Refleksif hanya untuk relasi yang semua anggotanya berhubungan dengan diri sendiri. Artinya, kalau ada satu saja yang tidak berhubungan dengan diri sendiri, relasi itu bukan refleksif. Contohnya relasi terhadap {monyet, gajah, ensiklopedi} berikut:

  • monyet @ gajah
  • monyet @ ensiklopedi
  • monyet @ monyet
  • gajah @ ensiklopedi
  • ensiklopedi @ ensiklopedi

Relasi ini bukan refleksif, karena tidak semua anggota berhubungan dengan dirinya sendiri: Ada monyet @ monyet dan ensiklopedi @ ensiklopedi, tetapi tidak ada gajah @ gajah.

Tugas

  1. Cobalah cari beberapa relasi yang bersifat refleksif dari dunia sekitarmu.
  2. Tuliskan domain dan kalimat yang mewakili relasinya jika ada.
  3. Buktikan bahwa relasi tersebut refleksif.
  4. Gambarlah relasi tersebut dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan directed graph.
  5. Selidiki sifat-sifat yang dimiliki diagram relasi tersebut.

Beri tanggapan