Ukuran kertas paling sempurna

Misalnya kamu memiliki sebuah kertas dengan lebar 10cm dan tinggi 20cm. Berarti kertas tersebut memiliki perbandingan lebar:tinggi 1:2. Kemudian kamu mencetak fotomu di atas kertas tersebut. Semua tampak baik-baik kecuali jerawat di hidungmu. Kemudian kamu baru sadar, foto ini tidak akan muat dalam amplop. Amplopnya hanya muat untuk kertas berukuran 10cm×10cm. Karena tidak punya kertas lain, dan kamu tidak ingin wajah cantikmu (atau ganteng) terlipat, maka kamu melipat kertas semula jadi dua bagian, dan mencetak kembali fotomu di halaman belakangnya.

Tampaknya permasalahan yang mudah. Tetapi, perbandingan semula adalah 1:2 dan sekarang menjadi 1:1! Ini baru masalah besar! Kalau kamu mencetak fotomu dalam perbandingan 1:2, maka entah kamu harus memotong atas bawahnya (crop), atau fotomu menjadi terlalu kecil (fit). Di lain pihak, kalau kamu ngotot seluruh fotomu harus terlihat, maka kamu harus mengubah perbandingannya menjadi 1:1, yang berarti wajahmu akan molor ke kanan dan ke kiri (stretch). Hasilnya seperti terlihat pada gambar berikut.

Hasil dari crop, fit, dan stretch.

Tentu saja masalah ini tidak real (atau jangan-jangan itu kamu?). Kamu bisa dengan mudah membeli kertas lain atau membuat foto lagi. Tetapi ini menimbulkan sebuah pertanyaan. Bisakah kita membuat kertas dengan perbandingan tertentu, lalu setelah kertas tersebut dilipat dua, masih memiliki perbandingan yang sama?

Adakah perbandingan kertas yang tetap sama ketika dilipat dua?

Kertas folio tidak memiliki sifat seperti ini. Kertas folio yang kita pakai berdimensi 8.5″×13″. Perbandingannya adalah 17:26. Kalau kamu melipatnya tepat di tengah seperti pada gambar, maka kamu akan mendapatkan dimensi 6.5″×8.5″, yang perbandingannya adalah 13:17, berbeda dengan yang semula.

Kertas folio tidak memiliki sifat itu.

Berapakah perbandingannya?

Kertas yang sedang kita cari adalah yang memiliki sifat seperti yang telah disebut di atas. Kertas ini ketika dilipat dua harus memiliki perbandingan yang sama seperti semula (dalam kondisi tegak). Satu-satunya perbandingan yang memenuhi syarat tersebut adalah 1: $\sqrt{2}$ . Dapatkah kamu membuktikannya? Kamu boleh langsung mempercayainya begitu saja, atau jika tidak kamu boleh melihat buktinya dengan mengklik tombol berikut.

Mencari perbandingan kertas tersebut.

Pertama, kita misalkan perbandingan lebar:tinggi kertas tersebut adalah a:b.

Jika dilipat dua, maka kertas tersebut akan memiliki perbandingan $\frac{1}{2}b : a$ atau b:2a.

Karena perbandingan sebelum dilipat dengan setelah dilipat adalah sama, maka kita memiliki persamaan berikut.

$\frac{a}{b} = \frac{b}{2a}$

Dengan mengalikan kedua ruas dengan 2ab, maka persamaan tersebut menjadi:

$2a^2 = b^2$

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan tersebut dalam variabel b (dalam a juga boleh).

$b = \pm a \sqrt{2}$

Dengan mengambil penyelesaian positifnya saja, karena asumsinya panjang tidak boleh negatif, maka perbandingannya menjadi:

$a : b$
$a : a \sqrt{2}$
$1 : \sqrt{2}$

Rumus untuk menentukan ukurannya

Misalnya kertas yang kita miliki memiliki luas L₀. Setelah dilipat, kertas itu luasnya akan menjadi setengah kalinya, yaitu $\frac{1}{2}L_0$ . Ini kita sebut sebagai L₁, yaitu luas kertas setelah dilipat satu kali. Kemudian, kertasnya bisa dilipat lagi untuk kedua kalinya, yang luasnya menjadi L₂, dan seterusnya. Dengan demikian rumus luas kertas untuk lipatan ke-n adalah:

Luas kertas setelah dilipat n-kali: $L_n = 2^{-n} L_0$

Dari mana rumus tersebut?

Jika luas kertas sebelum dilipat adalah L₀, maka luas kertas setelah dilipat sekali akan menjadi separuhnya. Setelah dilipat dua kali akan menjadi seperempatnya. Jadi:

$L_1 = \frac{1}{2}L_0$

$L_2 = \frac{1}{2}L_1 \\\;\; = \frac{1}{4}L_0$

$L_n = \frac{1}{2}L_{n-1} \\\;\; = \frac{1}{2^n}L_0 \\\;\; = 2^{-n}L_0$

Kemudian, kita juga bisa mencari rumus lebar dan tinggi untuk lipatan ke-n.

Lebar kertas setelah dilipat n-kali: $l_n = 2^{-\frac{2n + 1}{4}}\sqrt{L_0}$
Tinggi kertas setelah dilipat n-kali: $t_n = 2^{-\frac{2n - 1}{4}}\sqrt{L_0}$

Dari mana rumus-rumus di atas?

Karena perbandingan lebar dan tingginya adalah 1: $\sqrt{2}$ , maka lebar, tinggi, dan luasnya bisa dimisalkan dalam x sebagai berikut.

lebar = $x$
tinggi = $x\sqrt{2}$
Luas = lebar×tinggi = $x^2\sqrt{2}$

Kalau luas awal kertas setelah dilipat n kali adalah L_n maka:

$L_n = x^2\sqrt{2}$
$\pm\sqrt{L_n} = x\sqrt[4]{2}$

Seperti biasa, karena x selalu positif:

$\sqrt{L_n} = x\sqrt[4]{2} \\\;x\sqrt[4]{2} = \sqrt{L_n} \\\;x = \frac{\sqrt{L_n}}{\sqrt[4]{2}} \\\;x = 2^{-\frac{1}{4}}\sqrt{L_n}$

Kemudian, dengan mensubtitusikan L_n dengan persamaan tadi.

$x = 2^{-\frac{1}{4}}\sqrt{L_n}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{1}{4}}\sqrt{2^{-n}L_0}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{1}{4}}2^{-\frac{n}{2}}\sqrt{L_0}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{1}{4}-\frac{n}{2}}\sqrt{L_0}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{1}{4} $1 + 2n$}\sqrt{L_0}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{1}{4} $2n + 1$}\sqrt{L_0}$
$\\\;\;= 2^{-\frac{2n+1}{4}}\sqrt{L_0}$

Karena lebarnya adalah x, maka kita telah mendapatkan rumus untuk lebarnya. Sedangkan untuk tinggi, karena tingginya adalah $x\sqrt{2}$ , maka:

$t_n = x \sqrt{2}$
$= 2^{-\frac{2n+1}{4}}\sqrt{L_0} \sqrt{2}$
$= 2^{-\frac{2n+1}{4}}\sqrt{L_0} 2^{\frac{1}{2}}$
$= 2^{-\frac{2n+1}{4} + \frac{1}{2}}\sqrt{L_0}$
$= 2^{-\frac{2n+1}{4} - \frac{-2}{4}}\sqrt{L_0}$
$= 2^{-\frac{2n+1-2}{4}}\sqrt{L_0}$
$= 2^{-\frac{2n-1}{4}}\sqrt{L_0}$

Adakah ukuran kertas dengan perbandingan seperti itu?

Ada! Kertas dengan perbandingan 1: $\sqrt{2}$ adalah kertas seri A dan seri B. Salah satu ukuran kertas HVS yang banyak dipakai di sekolah maupun perkantoran adalah ukuran A4. Kamu mungkin memakai file binder dengan ukuran B5 atau A5. Dan perbandingan ini bukan hanya untuk kertas saja, tetapi amplop seri C juga menggunakan perbandingan tersebut. Ini semua diatur dalam ISO 216.

Kertas seri A

Ukuran kertas seri A dimulai dari A0 dengan luas 1m². Berdasarkan luas ini, kita dapat mencari lebar dan tingginya. Bukan hanya itu, dengan mensubtitusikan L₀ pada rumus sebelumnya, kita bisa mendapatkan rumus ukuran kertas seri A.

Rumus ukuran kertas seri A: $l_{An} = 2^{-\frac{2n + 1}{4}} \text{m}$; $t_{An} = 2^{-\frac{2n - 1}{4}} \text{m}$; $L_{An} = 2^{-n} \text{m}^2$

Hasilnya, kertas seri A memiliki ukuran sebagai berikut, dinyatakan dalam satuan milimeter.

Kertas	Luas	lebar	tinggi
A0	1.000.000 mm²	841 mm	1.189 mm
A1	500.000 mm²	595 mm	841 mm
A2	250.000 mm²	420 mm	595 mm
A3	125.000 mm²	297 mm	420 mm
A4	62.500 mm²	210 mm	297 mm
A5	31.250 mm²	149 mm	210 mm

Klik untuk melihat animasi pelipatan kertas seri A.

baca selengkapnya

Kertas B

Kertas B dimulai dari ukuran B0 yang luasnya $\sqrt{2}$ m².

Rumus ukuran kertas seri B: $l_{Bn} = 2^{-\frac{n}{2}} \text{m}$; $t_{Bn} = 2^{-\frac{n-1}{2}} \text{m}$; $L_{Bn} = 2^{\frac{1-2n}{2}} \text{m}^2$

Hasilnya, kertas seri B memiliki ukuran sebagai berikut, dinyatakan dalam satuan milimeter.

Kertas	Luas	lebar	tinggi
B0	1.414.214 mm²	1.000 mm	1.414 mm
B1	707.107 mm²	707 mm	1000 mm
B2	353.553 mm²	500 mm	707 mm
B3	176.777 mm²	354 mm	500 mm
B4	88.388 mm²	250 mm	354 mm
B5	44.194 mm²	177 mm	250 mm

Amplop seri C

Amplop seri C digunakan untuk menampung kertas seri A. Amplop seri C dimulai dari C0 yang luasnya adalah $\sqrt[4]{2}$ m².

Rumus ukuran amplop seri C: $l_{Cn} = 2^{-\frac{4n+1}{8}} \text{m}$; $t_{Cn} = 2^{-\frac{4n-3}{8}} \text{m}$; $L_{Cn} = 2^{\frac{1-4n}{4}} \text{m}^2$

Amplop	Luas	lebar	tinggi
C0	1.189.207 mm²	917 mm	1297 mm
C1	594.604 mm²	648 mm	917 mm
C2	297.302 mm²	459 mm	648 mm
C3	148.651 mm²	324 mm	459 mm
C4	74.325 mm²	229 mm	324 mm
C5	37.163 mm²	162 mm	229 mm

Jadi, dengan menggunakan kertas seri A, kamu tidak perlu takut lagi hasil cetakanmu akan terpotong atau menyisakan ruang kosong di kiri kanannya, atau terlihat molor kesana kemari. Bahkan, ada jaminan kamu bisa beli amplop yang cukup untuk menampungnya.

Credits:

Gambar: The Mona Lisa, Leonardo Da Vinci.

Penilaian:

Pak Ari's Resources

All Truth is God's Truth

Berapakah perbandingannya?

Rumus untuk menentukan ukurannya

Adakah ukuran kertas dengan perbandingan seperti itu?

Kertas seri A

Kertas B

Amplop seri C

Add new comment

Default

Plain text