Bomi, Mila, Enjel, Rahman, Dungi, dan Hamu. Mereka berenam bertetangga. Rumah mereka berderet dalam satu barisan.

Bomi Mila Enjel Rahman Dungi Hamu

Persoalannya sederhana: Siapakah tetangga terdekat dari Enjel? Tentunya kamu tidak perlu sampai harus menanyakan ke Yahoo! Answers, bukan? Enjel memiliki dua orang tetangga terdekat, satu di sebelah kiri, satu di sebelah kanan.

  • Tetangga terdekat sebelah kirinya Enjel adalah Mila.
  • Tetangga terdekat sebelah kanannya Enjel adalah Rahman.

Bomi memiliki tetangga terdekat sebelah kanan, yaitu Mila, tetapi tidak punya tetangga sebelah kiri. Sedangkan Hamu punya tetangga terdekat sebelah kiri, yaitu Dungi, tetapi tidak punya tetangga sebelah kanan.

Sekarang, gantikan Bomi, Mila, Enjel, Rahman, Dungi, dan Hamu, dengan bilangan 1 sampai 6. Jadi sekarang kamu memiliki barisan bilangan bulat seperti ini:

1 2 3 4 5 6

Dan kamu ditanya, bilangan apakah yang menjadi tetangga terdekatnya 3? Jawabnya jelas:

  • Tetangga terdekat sebelah kirinya 3 adalah 2.
  • Tetangga terdekat sebelah kanannya 3 adalah 4.

Sekarang, kalau barisan itu diganti, bukan himpunan bilangan bulat, melainkan himpunan bilangan real dengan dibatasi 1 sampai 6, apa yang akan terjadi?

Kontinuitas

Bilangan real dan bilangan bulat memiliki sifat yang berbeda. Bilangan bulat di atas, antara 3 dan 4 tidak ada bilangan lain. Maka tetangga terdekat sebelah kanan 3 pastilah 4.

Bilangan bulat: 3 (tidak ada bilangan di sini) 4

Bilangan real memiliki sifat yang berbeda. Antara 3 dan 4, adakah bilangan lain? Ada. Contohnya adalah 3.3.

Di antara setiap dua buah bilangan real yang berbeda, ada tak terhingga bilangan real lainnya.

Kalimat yang lebih formal adalah:

Jika a dan b adalah bilangan real, dengan a tidak sama dengan b, maka terdapat bilangan c sedemikian hingga a < c < b.

Berarti, di antara 2 dan 3, ada tak terhingga bilangan real. Antara 2 dan 2.4, ada tak terhingga bilangan real. Bagaimana di antara 2 dan 2.000000000001? Ada tak terhingga bilangan real. Bagaimana dengan 2 dan 2.0000000000000000000000000000000000000000000000001? Ada tak terhingga bilangan real. OH TIDAK!!! Bagaimana kita bisa menemukan tetangga terdekat dari 2?

Maka berdasarkan sifat tidak masuk akal ini, kita harus mengakui bahwa:

Setiap bilangan real tidak memiliki tetangga terdekat

Bukti

Mari kita buktikan secara reductio ad absurdum.

Pertama, kita sepakati bahwa dalam bilangan real, x dan y memiliki tengah-tengah (x+y)/2.

Kalau kita punya bilangan real a, lalu kita percaya bahwa a punya tetangga terdekat, yaitu b. Maka antara a dan b ada (a+b)/2 yang berbeda dari a dan b. Berarti b bukan bilangan terdekat. Kontradiksi dengan pernyataan pertama.

Kapanpun kita mengatakan sebuah bilangan real punya tetangga terdekat, pasti ia bukan tetangga terdekatnya.

Jadi sekarang, dalam sistem bilangan real, siapakah tetangga terdekat 0? Tidak ada. Siapakah tetangga terdekat 1.2? Tidak ada. Siapakah tetangga terdekat dari ${\sqrt{3}}$? Tidak ada.

Jadi, dalam sebuah interval bilangan real [0,1], ada tak terhingga bilangan yang hidup berdesak-desakan dalam sebuah petak, tetapi masing-masing tidak memiliki tetangga terdekat. Aneh sekali, bukan? Ini adalah sifat yang sangat tidak masuk akal dari kontinuitas, tetapi ada dalam matematika.

Memang sulit dipahami sepenuhnya, namun kita tetap dapat mempercayainya saja berdasarkan bukti formal.