Search form

Nol, himpunan kosong, dan tidak terdefinisi

Perbedaan antara tiga konsep matematika yang sama-sama membicarakan ketiadaan.

Audiens

Dalam matematika, kadang-kadang untuk membedakan beberapa konsep bisa cukup membingungkan. Contohnya, ada tiga konsep yang sama-sama membicarakan sesuatu yang tidak ada: bilangan nol, himpunan kosong, dan tak terdefinisi. Tetapi masing-masing membicarakan hal yang berbeda dari ketiadaan. Kalau begitu, apa yang dimaksudkan oleh masing-masing konsep tersebut?

Bilangan nol

Mari kita mulai dari bilangan nol, karena dari ketiga konsep tersebut, yang paling pertama diajarkan sepanjang waktu sekolah adalah ini. Bilangan nol mewakili jumlah dari kosong.

Dalam kotak ini ada 3 anjing.

anjinganjinganjing

Dalam kotak ini ada 2 anjing.

anjinganjing 

Dalam kotak ini ada 1 anjing.

 anjing 

Lalu, dalam kotak kosong ini ada berapa anjing?

   

Kita mengatakan bahwa di sini ada 0 anjing.

Bilangan nol dapat diartikan sebagai kosong. Ketika di dompetmu tidak ada uang, kamu bisa mengatakan, Ada nol rupiah dalam dompet saya. Atau ketika ikanmu mati semua, kamu bisa mengatakan, Sekarang aku hanya memiliki nol ikan dalam akuariumku.

Himpunan kosong

Jika dalam konsep nol yang dibicarakan adalah jumlah, maka dalam konsep himpunan kosong, yang dibicarakan bukan jumlahnya, melainkan jenis himpunannya: ada isi atau tidak.

Ini adalah kotak yang ada isinya

anjinganjinganjing

Ini juga kotak yang ada isinya

anjinganjing 

Ini juga kotak yang ada isinya

 anjing 

Kotak ini tidak ada isinya.

   

Nah, kotak yang tidak ada isinya inilah himpunan kosong.

Konsep himpunan kosong berbicara mengenai kumpulannya itu sendiri. Boleh dibilang (walaupun kurang tepat), himpunan kosong berbicara mengenai wadah, tetapi tidak ada isinya. Jadi, ia berbicara mengenai dompet kosong, bukan jumlah uang di dalamnya. Ia berbicara mengenai akuarium kosong, bukan jumlah ikan di dalamnya.

Tak terdefinisi

Di samping konsep nol dan himpunan kosong, dalam matematika juga ada gagasan mengenai tak terdefinisi untuk menyebut hal yang memang tidak ada.

Kadang-kadang kita berpikir terlalu aneh-aneh, menganggap bahwa tak terdefinisi adalah sesuatu yang sangat hebat sekali. Padahal, tak terdefinisi sebenarnya berarti... tak terdefinisi! Tidak ada! Tidak dibuat definisinya. Itu saja.

Tak terdefinisi biasanya berkait dengan fungsi

Biasanya, tak terdefinisi berkaitan erat dengan fungsi. Misalnya relasi f berikut ini:

Kalau fungsinya seperti itu, maka f(a) = 1, dan f(b) = 2, tetapi f(c) tidak terdefinisi. Kondisi ini disebut sebagai tidak total kiri. Dengan begitu, maka f sebenarnya bukan fungsi.

Tak terdefinisi bisa berarti memang tidak dapat dibuat definisinya

Tak terdefinisi bisa berarti memang hal tersebut tidak bisa dibuat definisinya. Setidaknya, hal tersebut menjadi tidak masuk akal jika didefinisikan.

Berapakah 1 dibagi 0? Seorang siswa SMA sejati pasti akan menjawab, Tidak terdefinisi! Tetapi seringkali kita tidak tahu mengapa begitu.

Ketika kita mengatakan 15 / 3 = 5, itu berarti 5 × 3 = 15. Jadi, ketika kita menanyakan:

Kita sedang menanyakan:

Setelah bertahun-tahun mencarinya, kita akan menemukan bahwa pertanyaan itu tidak ada jawabannya. Maka kita mengatakan 1 / 0 tidak terdefinisi.

Pembagian juga bisa dimengerti sebagai relasi f(x, y) = z, dengan hubungan y × z = x. Dengan begitu, fungsi f ada yang tidak memiliki hasil di sebelah kanannya, seperti pada diagram di bawah ini.

Bolehkah dengan sengaja didefinisikan? Boleh saja.

Tetapi bilangan wah di sini tidak punya arti sesuatu, atau setidaknya tidak berguna untuk sesuatu.

Berbeda dengan kasus ini:

atau

Dalam hal ini, kita tidak menemukan bilangan yang ketika dikuadratkan adalah -1. Tetapi, dengan mendefinisikan suatu bilangan baru i:

Hasil ini cukup berguna.

Tak terdefinisi bisa berarti dengan sengaja tidak didefinisikan

Berapakah 0 dibagi 0?

0 × ? = 0

Berapa hayo?

Karena sembarang bilangan bisa memenuhi, maka:

0 × 7 = 0
0 × 1 000 000 = 0
0 × -125.2153 = 0

Ini tidak memenuhi syarat sebagai fungsi, karena tidak memiliki sifat yang disebut unik kanan. Maka dengan sengaja 0 dibagi 0 tidak didefinisikan di sini.

Tak terdefinisi bisa berarti di luar yang dibicarakan

Misalnya, Bomi sedang membicarakan

f(x) = x / 2 adalah fungsi yang mengolah bilangan bulat x menjadi bilangan bulat lainnya. Ini ditulis sebagai f: ℤ → ℤ.

Kalau begitu, kita bisa menghitung macam-macam x:

  • Untuk x = 12, maka f(12) = 6
  • Untuk x = 198, maka f(198) = 99
  • Untuk x = 1 000 000 maka f(1 000 000) = 500 000

Lalu, untuk x = 13, berapakah f(13)? Tentunya kita bisa dengan mudah menghitungnya dan mendapatkan hasil 6.5 bukan? Tetapi masalahnya, f(x) harus menghasilkan bilangan bulat, dan 6.5 bukanlah bilangan bulat. Lalu, bagaimana kita mengatakan hasilnya? Kita mengatakan bahwa f(13) tidak terdefinisi. Karena sekalipun kita bisa menghitungnya, hasilnya adalah di luar yang dibicarakan.

Dengan begitu, fungsi real f: ℝ → ℝ juga bersifat demikian. Kalau sebuah fungsi real dihitung untuk f(-1), fungsi tersebut tidak terdefinisi. Mengapa tidak dijawab atau i? Karena i adalah bilangan imajiner, sementara kodomain fungsinya hanya mengijinkan bilangan real.

Tiga macam ketiadaan dalam satu kasus

Sebagai contoh, misalnya kamu memiliki 9 orang teman sebagai berikut.

Anton Susi Herman
Joni Bomi Mila
Enjel Santi Heni

Di antara mereka ada relasi seperti ini:

  • Anton berpacaran dengan Mila
  • Bomi berpacaran dengan Enjel
  • Herman berpacaran dengan Susi sekaligus (diam-diam) dengan Santi
  • Joni dan Heni tidak berpacaran.

Maka sekarang saya akan menanyakan tiga jenis pertanyaan berikut.

Pertanyaan pertama, berapa banyakkah pacar x?

  • Berapa banyakkah pacar Anton?
    Banyaknya pacar Anton adalah satu.
  • Berapa banyakkah pacar Herman?
    Banyaknya pacar Herman adalah dua.
  • Berapa banyakkah pacar Heni?
    Karena Heni tidak berpacaran, maka banyak pacarnya adalah nol.

Nah, pertanyaan pertama adalah mengenai jumlah. Maka ketika tidak ada, inilah konsep nol.

Pertanyaan kedua, siapa sajakah pacar x?

Pertanyaan ini adalah mengenai himpunan.

  • Siapa sajakah pacar Herman?
    Pacar Herman adalah Susi dan Santi. Ini berarti himpunan {Susi, Santi}.
  • Siapa sajakah pacar Mila?
    Pacar Mila adalah Anton. Ini adalah himpunan {Anton}.
  • Siapa sajakah pacar Joni? Joni tidak punya pacar. Maka ini adalah himpunan kosong.

Pertanyaan ketiga, siapakah nama pacar x?

  • Siapakah nama pacar Bomi? Nama pacar Bomi adalah Enjel.
  • Siapakah nama pacar Heni? Heni tidak punya pacar. Maka pertanyaan mengenai namanya juga tidak mungkin ada. Jadi, nama pacar Heni tidak terdefinisikan.

Beri tanggapan