Search form

Yang mana lebih tak terhingga?

Diskusi Bomi dan Mila mengenai himpunan tak terhingga terhitung yang merupakan bagian dari bilangan asli.

Audiens

Himpunan yang mengandung tak terhingga anggota berlaku berbeda dari himpunan yang anggotanya berhingga. Ada keanehan-keanehan tertentu yang tidak dapat kita terima dengan akal sehat, namun mau tidak mau harus kita terima karena buktinya menyatakan demikian. Ikuti pembicaraam Bomi dan Mila mengenai barisan bilangan asli ini.

Menurutmu, manakah di antara kedua barisan bilangan ini yang lebih banyak?
Barisan pertama 1, 2, 3, 4, 5
Barisan kedua 501, 502, 503

Jelas yang pertama, dong.
Benar. Kalau yang ini?

Barisan pertama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Barisan kedua 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509

Jelas yang kedua. Karena yang pertama hanya ada 7 bilangan, sementara yang kedua ada 9 bilangan.
Sekarang aku teruskan sampai tak terhingga. Titik-titik yang aku tulis menunjukkan bahwa barisan itu berlanjut terus dengan pola yang sama sampai tak terhingga.

Barisan pertama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Barisan kedua 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, ...

Menurutmu, mana yang lebih banyak?

Yang lebih banyak? Tentu saja yang pertama.
Mengapa begitu?
Ya... sudah jelas terlihat, barisan bilangan yang kedua mulai dari 501. Berarti barisan kedua tidak memiliki bilangan 1 hingga 500. Padahal yang pertama punya. Kalau begitu, yang pertama pasti lebih banyak.

Barisan pertama 1 2 ... 499 500 501 502 ...
Barisan kedua × × × × × 501 502 ...

Aku akan menunjukkan bahwa kedua barisan itu sama banyak.
Bagaimana caranya? Kamu mau membohongi aku lagi?
Aku tidak membohongimu. Baiklah. Aku akan mulai dengan menyatakan bahwa banyak bilangan dalam barisan-barisan bilangan berikut adalah sama.

Barisan pertama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Barisan kedua 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, ...
Barisan ketiga 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
Barisan keempat 805, 810, 815, 820, 825, ...

Oh, aku mengerti. Kamu bermaksud mengatakan bahwa semua barisan ini banyaknya adalah sama-sama tak terhingga.
Hmmm... Kamu betul. Semua barisan ini banyaknya sama-sama tak terhingga. Tapi aku juga memaksudkan bahwa jumlah mereka adalah tepat sama!
Mana mungkin! Sudah terlihat dengan jelas bahwa barisan-barisan tersebut ada yang lebih sedikit jumlahnya. Lagipula, bagaimana kamu membuktikan jumlah mereka tepat sama? Kamu kan tidak bisa menghitungnya satu per satu?
Baiklah. Sekarang aku mau bertanya padamu. Apakah menghitung itu?
Menghitung ya... menghitung. Menomori benda-benda satu per satu. Bilangan terakhir yang kita sebut, itulah jumlah seluruh benda yang kita hitung.
Betul sekali. Ketika kamu menghitung, kamu sedang mengaitkan benda-benda yang kamu hitung dengan bilangan asli 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Satu benda hanya boleh dinomori sekali, dan satu bilangan tidak boleh menomori dua benda. Dalam ilmu matematika kita menyebut hal ini dengan istilah bijeksi. Atau, dalam teori fungsi, kita sedang membuat fungsi bijektif antara benda yang kita hitung dengan sebagian dari bilangan asli.
Kalau begitu, berarti dua kelompok benda memiliki banyak yang sama jika kedua kelompok tersebut dinomori dengan bilangan asli yang sama.
Betul! Bahkan kita cukup mengatakan, dua kelompok benda banyaknya pasti sama, jika kita dapat membuat bijeksi antara kedua kelompok itu. Berarti, kapanpun kita bisa membuat pasangan antara masing-masing anggota kelompok dengan anggota kelompok yang lain, berarti kedua kelompok itu banyaknya sama.
Jadi, kalau begitu, kita bisa mengatakan dua himpunan tak terhingga sama banyaknya dengan cara memasangkan satu-satu anggota dari keduanya.
Benar. Misalnya pada barisan kita yang pertama.

Barisan pertama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Barisan kedua 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, ...

Kita bisa memasangkan kedua barisan tersebut satu per satu.

Barisan pertama 1 2 3 4 ...
Barisan kedua 501 502 503 504 ...

Bahkan, kita sebenarnya memasangkan dengan aturan yang jelas, yaitu setiap bilangan k pada barisan yang pertama dipasangkan dengan bilangan 500 + k pada barisan yang kedua. Dan karena pasangan ini selalu terjadi untuk setiap anggota kedua himpunan, maka kita telah menunjukkan bahwa kedua barisan tersebut memiliki banyak yang sama.

Aku mengerti. Jadi misalnya kita memiliki barisan seperti ini.

Barisan pertama 10 50 90 130 ...
Barisan kedua 41 38 35 32 ...

Maka aku bisa memasangkan keduanya dengan aturan k untuk barisan pertama, dan (3k - 194) / 4 untuk barisan kedua.

Ah! Kamu pintar sekali.
...
Kenapa?
Kamu berusaha membohongiku lagi dengan trik matematikamu, bukan?

Benarkah yang Bomi katakan?

Bomi tidak berbohong. Dua himpunan disebut sama jika kita bisa memasangkan satu-satu anggota himpunan pertama dengan yang kedua, atau istilah matematikanya adalah bijeksi.

Karena antara dua buah himpunan berikut kita bisa membuat pasangannya, berarti kedua himpunan tersebut memiliki banyak anggota yang sama.

Aku bisa melihatnya. Tetapi aku sulit mempercayainya.
Tepat seperti itu yang dikatakan oleh orang yang pertama kali menemukan hal ini, yaitu Georg Cantor. Namun ini bukan yang paling aneh. Menurutmu, apakah banyaknya bilangan real sama dengan bilangan bulat?
Kalau mengikuti permainanmu, keduanya sama.
Tidak, tidak sama.

Beri tanggapan