Search form

Ada berapa banyakkah bilangan prima?

Membuktikan bahwa bilangan prima seluruhnya adalah tak terhingga.

Audiens

Sebenarnya ada berapa banyakkah bilangan prima?

Ada tak terhingga bilangan asli. Ada tak terhingga juga bilangan genap. Apakah bilangan prima juga seluruhnya tak terhingga?

Misalkan, kita telah berhasil mendaftar 5 bilangan prima pertama, yaitu 2, 3, 5, 7, 11. Sekarang kalikan kelima bilangan tersebut, 2×3×5×7×11 menghasilkan 2310. Bilangan 2310 pastilah bukan bilangan prima, karena memiliki faktor 2, 3, 5, 7, dan 11.

Kalau kita menambahkan 2310 dengan 1 menjadi 2311, maka bilangan 2311 pastilah tidak dapat dibagi 2, 3, 5, 7, maupun 11. Apakah 2311 prima? Belum tentu. Kita harus mengujinya terlebih dahulu. Dalam ketidak tahuan kita, 2311 mungkin saja prima. Tetapi mungkin juga bukan prima, karena bisa saja ada bilangan prima lain selain 2, 3, 5, 7, maupun 11 yang bisa membagi 23111.

Sekarang, marilah kita berandai-andai bahwa hanya terdapat terhingga bilangan prima. Misalnya, banyaknya bilangan prima adalah n. Tidak lebih dari itu. Berikutnya, kita misalkan bilangan-bilangan prima tersebut adalah p1, p2, p3, seterusnya sampai pn, yang kita kumpulkan menjadi sebuah himpunan P.

P = {p1, p2, p3, ..., pn-1, pn}

Berarti, kalau kita kalikan seluruhnya, dan kita sebut hasilnya sebagai A;

p1 × p2 × p3 × ... × pn-1 × pn = A

A pastilah bukan bilangan prima, karena dapat difaktorkan menjadi bilangan-bilangan prima P tersebut. Tetapi, kalau kita tambahkan A dengan 1, apakah bilangan A+1 prima? Sama seperti yang telah kita lakukan terhadap bilangan 2310 di sebelumnya, ada dua kemungkinan yang bisa terjadi.

  • Kalau A+1 prima, berarti ada bilangan prima lain selain yang terdaftar dalam P, yaitu bilangan prima A+1. Berarti masih ada bilangan prima selain P.
  • Kalau A+1 bukan prima, berarti A+1 bisa difaktorkan. Tetapi A+1 tidak mungkin dibagi dengan salah satu dari P. Berarti, harus ada bilangan prima lain yang tidak termasuk dalam P, yang dapat membagi A+1.

Yang manapun kemungkinannya, anggapan kita bahwa hanya terdapat bilangan prima sejumlah n pastilah salah. Berarti, yang benar adalah terdapat tak terhingga bilangan prima.

Pembuktian ini pertama kali dibuat oleh Euclid sekitar abad 3 SM.


  1. Kenyataannya, 2311 adalah bilangan prima. 

Beri tanggapan