Search form

0.99999999...

Manakah yang lebih besar? 0.99999... (dengan tak terhingga 9 di belakangnya) atau 1?

Audiens
Berapakah bilangan real tepat sebelum satu?
Jelas 0.999999999... yang bisa diteruskan sampai tak berhingga.
Wah, kamu salah.
Kok bisa?
Ya, kamu harus baca artikel ini lebih dulu: Siapakah tetangga terdekat 1?...
Jelas 0.999999999... dong
Tidak. Yang kamu sebut itu sama dengan satu.
Bodoh kamu Bom. Kamu mau nipu aku ya? Jelas-jelas itu 0.999999999... Itu adalah bilangan yang sedikit lebih kecil dari satu.
Seberapa sedikit?
Sedikiiiiiiit sekali.
Baiklah, kalau kau tidak percaya bahwa mereka adalah sama, aku akan jelaskan. Yang aku tulis ini, sebelah kiri dan kanan adalah bilangan yang sama, tetapi yang kiri berupa perbandingan, yang kanan berupa bentuk desimal.
bentuk pecahan = bentuk desimal
1 = 1.
1/9 = 0.111111111...
1/9×9 = 0.11111.....×9
1 = 0.999999999...

Kamu kreatif sekali, Bom. Tapi jangan coba-coba membohongiku ya.
Ini benar.
Sudahlah. Walaupun kamu meyakinkan, tetapi aku tidak percaya.

Apakahkah Bomi benar?

Setiap bilangan rasional, seperti 1, 3.7, memang dapat dinyatakan dengan dua cara.

Bilangan Bentuk 1 Bentuk 2
1 1.000000... 0.999999...
2 2.000000... 1.999999...
3.78 3.780000... 3.779999...
-8.41 -8.410000... -8.409999...

Pembuktiannya sudah dituliskan oleh Bomi di atas. Jadi, dalam hal ini, Bomi benar, walaupun Mila tidak mempercayainya.

Sebenarnya, pertanyaan Bomi yang pertama kali sangatlah menjebak (Apakah bilangan real tepat sebelum satu?). Karena setiap bilangan real tidaklah memiliki tetangga terdekat.

Bukti yang lebih baik

Bukti Bomi yang menggunakan ekspansi desimal bisa tampak kurang memuaskan bagi sebagian orang. Bukti yang lebih baik bisa kita peroleh menggunakan deret geometri tak berhingga.

Dengan 0 < r < 1.

Bentuk 0.99999... dapat ditulis sebagai:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

atau


Yang adalah deret geometri tak berhingga, dengan , dan . Kalau begitu, deret tersebut dapat disederhanakan menjadi:


=
= 1

Beri tanggapan